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Algèbre: Chapitre 8 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

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32 STRUCTURE DES MODULES DE LONGUEUR FINIE §2 d’après le lemme 4. En échangeant les rôles de I et J on obtient l’inégalité opposée, d’où le théorème. Le cardinal [M : L] défini dans la théorème 1 est appelé multiplicité primordiale de L dans M. Corollaire 1. — Soient M et N des modules semi-primordiaux. Pour que M et N soient isomorphes, il faut et il suffit que l’on ait [M : L] = [N : L] pour tout module primordial L. Corollaire 2. — Soit M un module semi-primordial. Soient (Mi )i∈I et (Mj )j∈J des familles de sous-modules primordiaux de M telles que M= Mi = i∈I Mj .

L’anneau des endomorphismes d’un module simple est un corps. Si M est un A-module simple, tout élément non nul de l’anneau non nul EndA (M) est inversible (prop. 2, c)), donc EndA (M) est un corps. Théorème 1. — Soient K un corps commutatif algébriquement clos, A une Kalgèbre et M un A-module simple. On suppose que la dimension de M comme espace vectoriel sur K est finie, ou plus généralement strictement inférieure au cardinal de K. Alors l’anneau des endomorphismes du A-module M se compose des homothéties αM avec α ∈ K.

Mj ) soit isomorphe à L. Les ensembles non vides de la forme IL (resp. JL ) forment une partition de I (resp. J) et l’on a, pour tout L Card(IL ) = Card(JL ) = [M : L], d’où le cor. 2. Corollaire 3. — Soient M, N et P des modules semi-primordiaux. On suppose que M⊕P est isomorphe à N⊕P, et que [P : L] est fini pour tout module primordial L. Alors M et N sont isomorphes. On a par hypothèse [M : L] + [P : L] = [N : L] + [P : L] pour tout module primordial L. Comme [P : L] est fini, il résulte par récurrence de (E, III, p.

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