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# Algebre commutative: Chapitres 8 et 9 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

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40 94 DIMENSION homogène de degré d,. Lorsque d, = lpour tout i, on retrouve la graduation usuelle des anneaux de polynômes. Tn,et l'on pose QM= P , . n (1 - Tdl). 1 itl ntZ THÉOREME 1. - L'élément Q, de Z((T)) appartient à Z[T, T-'1. Divisant Ho par l'annulateur du Ho-module M, on se ramène au cas où M est un Ho-module fidèle. Si a, b E Z sont tels que M soit engendré comme H-module par Mi, alors M' est un Ho-module fidèle et de longueur finie; par suite, M' = 1 a

2 à la prop. 16). 2. Anneau gradué associé à un anneau local régulier THÉORÈME1. -Soit A un anneau local noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est régulier. (ii) L'idéal m, est engendré par une partie sécante pour A (Cj 3, no 2, déf. 1). (iii) L'idéal m, est engendré par une suite complètement sécante pour A (A,X , p. 157, déf. 2). (iv) Soit S l'algèbre symétrique du K,-espace vectoriel mA/mA, et soit gr(A) = @ m;/m;+' l'anneau gradué associé à A. L'homomorphisme canonique y de S sur 1130 gr(A) est bijectij (v) I l existe un entier r 2 O tel que l'on ait HAimA = (1 - T)-,, c'est-à-dire m, = osi r = 0 et [mA/mrl :K,] = (n : ') pour tout entier n 3 O si r > O.

Remarques. - 1) Supposons que A soit un anneau local, noethérien et intègre de dimension d ; soit x un élément non nul de m, et soit H = V(x). D'après le cor. 2 de la prop. 4, toute composante irréductible de H est de codimension 1 dans X, donc de dimension d d - 1 (Cj 1, no 2, prop. 3). D'après le cor. 2 de la prop. 2 du no 1, H est de dimension d - 1 et l'une de ces composantes est donc de dimension d - 1 ; toutes le sont si A est caténaire. Cependant, il se peut en général qu'il existe une composante irréductible de H de dimension < d - 1 (cf.